terça-feira, 30 de novembro de 2010

Para-raios e aterramentos I

Introdução



Durante as tempestades observa-se queda da temperatura e aumento da umidade relativa do ar, o que diminui suas propriedades dielétricas. Ao mesmo tempo, o movimento das nuvens provoca um aumento do potencial elétrico entre elas e o solo. Esses dois fatores contribuem para eventual transferência de cargas elétricas entre nuvem e solo, isto é, uma descarga elétrica de curta duração e de alta intensidade.

Formação do raio
Fig 01

O pára-raios é que um elemento metálico situado a determinada altura e eletricamente ligado à terra, de forma que as descargas ocorram pelo caminho mais fácil, protegendo as suas imediações.

A palavra captor é freqüentemente usada como sinônimo de pára-raios. Em geral, refere-se especificamente ao elemento situado no topo, que recebe diretamente o raio.

Captor Franklin
Fig 02

O captor mais usado atualmente é o tipo Franklin, que consiste de um conjunto de algumas hastes pontiagudas para facilitar a condução, montado em um mastro vertical (Figura 02).

Até certa época, foram usados tipos semelhantes, mas com adição de material radioativo que, segundo os fabricantes, aumentava o raio de ação. Não são mais permitidos devido ao riscos inerentes. Em alguns casos são usados fios horizontais como captores, mas essa forma não está no escopo desta página.

Curiosidade relacionada: o pára-raios foi inventado por Benjamin Franklin em 1752. Inicialmente houve resistência das religiões porque raio era considerado fúria de deus e o homem não podia interferir. A igreja católica declinou da objeção em 1769, quando um raio atingiu uma igreja perto de Veneza e provocou a ignição de uma grande quantidade de pólvora estocada nas proximidades, matando cerca de 3000 pessoas.



Campo de proteção

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Um captor Franklin em mastro vertical (Fig 01):

#A.1#

Campo de proteção para um captor
Fig 01

O campo de proteção é dado pelo cone com vértice no captor, com geratriz que faz ângulo de 60º com a vertical (para níveis de proteção maiores esse ângulo deve ser menor).


Dois captores Franklin em mastro vertical (Fig 02):

Sejam 2 captores de alturas h1 e h2, distanciados de d, tais que:

#B.1#

Neste caso, a influência mútua pode ser considerada conforme equações a seguir (supõe-se que h1 > h2).

Campo de proteção para dois captores
Fig 02

A linha curva entre h1 e h2 tem forma de parábola e, assim, a equação genérica da sua altura h em relação ao solo é:

h = ax2 + bx + c#B.2#

Onde x é a distância horizontal em relação a h1.

Os coeficientes são dados por:

#B.3#

#B.4#

#B.5

O campo de proteção será:

a) Nas extremidades, superfícies cônicas conforme item anterior.

b) Entre os captores, a superfície com vértice na parábola aqui definida, com geratriz reta partindo desta parábola e em ângulo de 60º com a vertical.


Para mais de 2 captores:

Determinam-se as superfícies para cada agrupamento de 2 captores conforme item anterior e faz-se a sobreposição dessas superfícies.



Instalação típica



A figura abaixo mostra a instalação padrão com apenas 1 captor. Entretanto, o número de captores deve ser dado em função da área a proteger conforme critério anterior. Todo o prédio e áreas a proteger devem estar dentro do campo de proteção.

Instalação típica de para-raios
Fig 01

O cabo de descida é normalmente de cobre, com seção não inferior a 35 mm2.

Como regra geral, a descida deve ser a mais direta possível, com o mínimo de curvas. Essas, quando necessárias, devem ter raio mínimo de 20 cm. Não deve haver emendas, exceto para o conector indicado, próximo ao solo, que permite separar as partes para medições do aterramento.

Os espaçadores devem ser usados a cada 2 m no máximo e devem proporcionar um separação mínima de 20 cm entre cabo e prédio ou outras partes.

Número de descidas:

Quando se tem mais de um captor, o número de descidas deve ser dado pelo valor máximo entre as expressões abaixo:

#A.1#

Onde:

n: número de descidas
a: área coberta do prédio em metros quadrados
h: altura do prédio em metros
p: perímetro do prédio em metros

Se o valor de alguma parcela for fracionário, ele dever ser arredondado para o inteiro imediatamente superior.

ATERRAMENTO CONSEITO BÁSICO

1- Função do aterramento:
1.1- Estabelecer o referencial de potencial zero.

2- Aplicações:
2.1- Sistemas de pára-raio (SPDA).
2.2- Proteção do usuário contra cargas estática ou falhas na isolação da instalação ou equipamento.
2.3- Blindagem eletromagnética, facilitar o funcionamento de equipamentos como dispositivos DR, disjuntores e relês por justamente estabelecer a referencia ao potencial zero.

3- Diferenças:
3.1- ponto de aterramento: a haste ou conjunto de hastes enterradas formando muitas vezes uma malha de aterramento para equipotencializar a área.
3.2- condutor terra: o fio que liga o aparelho elétrico ao ponto de aterramento
3.3- sistemas de aterramento: a maneira como o condutor terra é ligado ao ponto de aterramento.

4- Terra vs Neutro:
Tratando-se de alimentação elétrica de computadores, o terra tem apenas a função de proteção do usuário contra cargas estática ou falhas na isolação da instalação ou equipamento (2.2), ou seja, o aterramento protege você, não o computador.
A concessionária disponibiliza para o consumidor uma fase (no caso consumidor monofásico) e um neutro. Esse neutro é aterrado na entrada, junto ao medidor de energia. Isso ocorre para proteger a rede elétrica pública caso ocorra uma falha de isolamento entre fase e neutro na instalação do consumidor.
Podemos nos perguntar o seguinte: se o neutro é aterrado, qual a diferença entre terra e neutro?
A diferença básica é que no neutro há circulação constante de corrente elétrica (é por onde há o retorno da corrente proveniente da fase), já no terra (3.2) só circula corrente em caso de problemas e falhas da instalação.

5- Aterrando seu computador:
Contudo, podemos aproveitar o ponto de aterramento (3.1) do neutro para fazer o aterramento do micro.
5.1- Sistema TN-C:
Imagem
O mais comum e mais arriscado. Note que o condutor terra (PE) é ligado ao neutro (N).
Se ocorrer uma falha de isolação entre fase e neutro a tensão de fase será transferida para a carcaça do micro.
5.2- Sistema TN-S:
Imagem
Condutor neutro (N) e terra (PE) são distintos, mas possuem apenas um referencial de potencial zero - o mais recomendado
5.3- Sistema TT:
Imagem
Condutores e pontos de aterramento distintos.

6- Soluções
Pelo fato de na maioria das residenciais não ser disponibilizado o pino terra na tomada, uma alternativa comum é ligar o terra do computador ao neutro da tomada (sistema TN-C) que como vimos no ítem 5.1 é arriscado, contudo podemos utilizar de equipamentos como o “terra eletrônico” ou “módulos isoladores” que fazem essa ligação de maneira segura. Sem essa “segurança” é melhor esquecer o aterramento, isolando o pino terra com um adaptador de 3 pinos para 2, deixando o micro plugado só entre fase e neutro.
E por falar em fase e neutro, deve-se prestar muita atenção na “polaridade” da tomada.
Dispositivos como o “terra eletronico” só vão funcionar corretamente se a tomada estiver com polaridade certa, sem falar que para o perfeito funcionamento do micro é imprescindível tal observação.
Muitos problemas atribuídos à falhas de aterramento são na verdade causados por essa inversão.

quarta-feira, 24 de novembro de 2010

Circuito RLC

Um circuito RLC (também conhecido como circuito ressonante ou circuito aceitador) é um circuito elétrico consistindo de um resistor (R), um indutor (L), e um capacitor (C), conectados em série ou em paralelo.
O circuito RLC é chamado de circuito de segunda ordem visto que qualquer tensão ou corrente nele pode ser descrita por uma equação diferencial de segunda ordem.
 

Parâmetros fundamentais

Existem dois parâmetros fundamentais que descrevem o comportamento dos circuitos RLC: a frequência de ressonância e o factor de carga. Para além disso, existem outros parâmetros que podem ser derivados destes dois primeiros.

Frequência de ressonância

A frequência natural ou de ressonância sem carga de um circuito RLC (em radianos por segundo) é:
\omega_o = {1 \over \sqrt{L C}}
Utilizando a unidade hertz, a frequência de ressonância fica:
f_o = {\omega_o \over 2 \pi} = {1 \over 2 \pi \sqrt{L C}}
A ressonância ocorre quando a impedância complexa ZLC do ressonador LC se torna zero:
ZLC = ZL + ZC = 0
Ambas estas impedâncias são função de uma frequência angular s complexa:
Z_C = { 1 \over Cs }
ZL = Ls
Considerando estas duas expressões acima iguais e resolvendo para s, tem-se:
 s = \pm j \omega_o = \pm j {1 \over \sqrt{L C}}
onde a frequência de ressonância ωo é dada pela expressão acima.

Fator de carga

O fator de carga do circuito (em radianos por segundo) é:
\zeta wn = {R \over 2L}
Para aplicações em circuitos osciladores, é geralmente desejável que o factor de carga seja o menor possível ou, de igual forma, aumentar o factor de qualidade (Q) o máximo possível. Na prática, isto requer uma redução na resistência R no circuito para uma quantia tão baixa quanto fisicamente possível. Neste caso, o circuito RL torna-se uma boa aproximação do circuito LC ideal, que não é realizável na prática. (mesmo que a resistência seja removida do circuito, ainda existe uma resistência pequena, porém diferente de zero no fio e nas conexões entre os elementos do circuito que não pode ser eliminada totalmente).
Alternativamente, para aplicações em filtros passa-banda, o factor de carga é escolhido baseado na largura de banda desejada do filtro. Para uma maior largura de banda, um maior factor de carga é necessário, e para uma largura de banda menor, utiliza-se um menor factor de carga. Na prática, isto requer ajustar os valores relativos da resistência R e do indutor L no circuito.

Parâmetros derivados

Os parâmetros derivados incluem largura de banda, fator Q e frequência de ressonância com carga.

Largura de banda

O circuito RLC pode ser utilizado como um filtro passa-faixa ou rejeita-faixa, e a sua largura de banda (em radianos por segundo) é:
 \Delta \omega  =  2 \zeta   = { R \over L}
Alternativamente, a largura de banda em hertz é
\Delta f =   {  \Delta \omega \over 2 \pi  } =  { \zeta \over \pi }= { R \over 2 \pi L}
A largura de banda é a medida do comprimento da resposta em frequência das duas frequências com metade da potência do sinal de entrada. Como resultado, esta medida de largura de banda é muitas vezes chamada de "comprimento total a metade da potência". Visto que a potência é proporcional ao quadrado da tensão do circuito (ou corrente), a resposta em frequência irá cair a  { 1 \over \sqrt{2} } nas frequências de metade da potência.

Qualidade ou factor Q

A qualidade do circuito, ou factor Q (ver Equalizador), é calculada como a razão entre a frequência de ressonância ωo e a largura de banda Δω (em radianos por segundo):
Q =   {\omega_o \over \Delta \omega } = {\omega_o \over 2\zeta } = {L \over R \sqrt{LC}} = {1 \over R} \sqrt{L \over C}
Ou, em hertz:
Q = {f_o \over \Delta f} = {2 \pi f_o L \over R} = {1 \over \sqrt{R^2 C / L}} =  {1 \over R} \sqrt{L \over C}
Q é uma unidade adimensional.

Ressonância com carga

A frequência de ressonância com carga deriva da frequência de ressonância natural e do factor de carga. Se o circuito estiver com subcarga, verifica-se que
 \zeta \ < \ \omega_o
então pode-se definir a ressonância com carga como
 \omega_d = \sqrt{ \omega_o^2 - \zeta^2 }
Em um circuito oscilador
 \zeta \ \ << \ \ \omega_o .
E, como resultado
 \omega_d \ \ = \ \ \omega_o \ \ (approx).

Configurações

Todo circuito RLC consiste de dois componentes: uma fonte de alimentação e um ressonador. Existem dois tipos de fontes de alimentação, a fonte de Thévenin e a fonte de Norton. Da mesma forma, existem dois tipos de ressonadores, os LC série e o LC paralelo. Como resultado, existem quatro configurações de circuitos RLC:
  • LC série com fonte de alimentação do tipo Thévenin
  • LC série com fonte de alimentação do tipo Norton
  • LC paralelo com fonte de alimentação do tipo Thévenin
  • LC paralelo com fonte de alimentação do tipo Norton

Análise do circuito

RLC série com fonte da alimentação do tipo Thévenin

Neste circuito, os três componentes estão todos em série com a fonte de tensão.
RLC series circuit
Notações do circuito RLC série:
v - a tensão da fonte de alimentação (medida em volts V)
i - a corrente do circuito (medida em ampéres A)
R - a resistência do resistor (medida em ohms = V/A);
L - a indutância do indutor (medida em henrys = H = V·s/A)
C - a capacitância do capacitor (medida em farads = F = C/V = A·s/V)
Dados os parâmetros v, R, L, e C, a solução para a corrente (I) utilizando a Lei da Tensão de Kirchoff é:

{v_R+v_L+v_C=v} \,
Para uma tensão variável com o tempo v(t), isto se torna


Ri(t) + L { {di} \over {dt}} + {1 \over C} \int_{-\infty}^{t} i(\tau)\, d\tau = v(t)
Rearranjando a equação [dividindo por L e derivando ambos os termos] tem-se a seguinte equação diferencial de segunda ordem:


{{d^2 i} \over {dt^2}} +{R \over L} {{di} \over {dt}} + {1 \over {LC}} i(t) = {1 \over L} {{dv} \over {dt}}
Definem-se agora dois parâmetros chave:
 \zeta*wn = {R \over 2L}
e
\omega_0 = { 1 \over \sqrt{LC}}
sendo ambos medidos em radianos por segundo.
Substituindo estes parâmetros na equação diferencial, obtém-se:

{{d^2 i} \over {dt^2}} + 2 \zeta {{di} \over {dt}} + \omega_0^2 i(t) = {1 \over L} {{dv} \over {dt}}

A solução para Resposta de Entrada Zero (ZIR)

Colocando a entrada (fonte de tensão) em zero, obtém-se:

{{d^2 i} \over {dt^2}} + 2 \zeta {{di} \over {dt}} + \omega_o^2  i(t) = 0
com as condições iniciais para a corrente do indutor, IL(0), e a tensão do capacitor VC(0). De modo a resolver a equação propriamente, as condições iniciais necessárias são I(0) e I'(0).
O primeiro já foi feito, visto que a corrente na total é igual à corrente no indutor, portanto

i(0)=i_L(0) \,
A segunda é obtida aplicando a Lei da Tensão de Kirchoff novamente:

v_R(0)+v_L(0)+v_C(0)=0 \,

\Rightarrow i(0)R+i'(0)L+v_C(0)=0 \,

\Rightarrow i'(0)={1 \over L}\left[-v_C(0)-I(0)R \right]
Agora tem-se uma equação diferencial de segunda ordem homogênea com duas condições iniciais. Substituíndo os parâmetros ζ e ω0, tem-se

i''+2\zeta i' + \omega_0^2 i = 0
Convertendo a forma da equação para seu polinomial característico
\lambda^2 + 2 \zeta \lambda + \omega_0^2 = 0
Utilizando a fórmula quadrática, acham-se as raízes como
 \lambda = -\zeta \pm \sqrt{\zeta^2 - \omega_0^2}
Dependendo dos valores de α e ω0, existem três casos possíveis:
Sobrecarga/Regime sobreamortecido (aperiódico)
Respostas do circuito RLC série com superamortecido

\zeta>\omega_0 \Rightarrow RC>4 { L \over R} \,
Neste caso, as soluções do polinomial característico são dois números reais negativos. Isto é chamado de "sobrecarga".
Duas raízes reais negativas, as soluções são:

I(t)=A e^{\lambda_1 t} + B e^{\lambda_2 t}

Carga crítica/ Regime amortecido crítico (aperiódico limite)
Circuito RLC série com Amortecimento Crítico

\zeta=\omega_0 \Rightarrow RC=4 { L \over R } \,
Neste caso, as soluções da polinomial característica são dois números reais negativos idênticos. Isto é chamado de "carga crítica".
As duas raízes são idênticas (λ1 = λ2 = λ). As soluções são:
I(t) = (A + Bt)eλt
para constantes arbitrárias A e B

Subcarga/ Regime subamortecido (periódico amortecido; pseudo-periódico)

\zeta<\omega_0 \Rightarrow RC<4 { L \over R } \,
Neste caso. as soluções do polinomial característico são um conjugado complexo e possuem uma parte real negativa. Isto é chamado de "subcarga" e resulta em oscilações no circuito.
As soluções consistem de duas raízes conjugadas
λ1 = − ζ + iωc
e
λ2 = − ζ − iωc
onde
\omega_c = \sqrt{\omega_o^2 - \zeta^2}
As soluções são:
i(t) = Ae^{-\zeta + i \omega_c} + Be^{-\zeta - i \omega_c}
para constantes arbitrárias A e B.
Utilizando a fórmula de Euler [e^{ix} = cos\left ( x \right ) + i sen\left ( x \right ) ], pode-se simplificar a solução para
i(t)=e^{-\zeta t} \left[ C \sin(\omega_c t) + D \cos(\omega_c t) \right]
para constantes arbitrárias C e D.
Estas soluções são caracterizadas por uma resposta sinusoidal com decaimento exponencial. O tempo necessário para que as oscilações sejam eliminadas depende da qualidade do circuito, ou fator Q. Quanto maior a qualidade, mais tempo é necessário para que as oscilações decaiam.

Solução para Resposta de Estado Zero (ZSR)

Com as condições iniciais configuradas para zero e utilizando a seguinte equação:

\left\{\begin{matrix} {{d^2 I} \over {dt^2}} +{R \over L} {{dI} \over {dt}} + {1 \over {LC}} I(t) = {1 \over L}{{dV} \over {dt}} \\  \\ I(0^{-})=I'(0^{-})=0 \end{matrix}\right.
{{d^2 i} \over {dt^2}} +{2 \zeta } {{di} \over {dt}} + {\omega_o} i(t) = {1 \over L}{{dv} \over {dt}}
Existem duas aproximações que podem ser utilizadas para encontrar o ZSR:
  1. A transformada de Laplace
  2. A Integral de convolução.
 Transformada de Laplace
Primeiramente realiza-se a transformada de Laplace da equação diferencial de segunda ordem:
 (s^2 + 2\zeta s + \omega_o^2) I(s) = {s \over L } V(s)
onde V(s) é a transformada de Laplace do sinal de entrada:
V(s) = \mathcal{L} \left\{ v(t) \right\}
Então resolve-se para a admitância complexa Y(s) (em siemens):
 Y(s) = { I(s) \over V(s) }  = { s \over L (s^2 + 2\zeta s + \omega_o^2)  }
Pode-se utilizar a admitância Y(s) e a transformada de Laplace da tensão de entrada V(s) para encontrar a corrente elétrica complexa I(s):
  I(s) = Y(s) \times V(s)
Finalmente, pode-se encontrar a corrente elétrica no domínio do tempo através da transformada de Laplace inversa:
i(t) = \mathcal{L}^{-1} \left\{ I(s) \right\}
Exemplo:
Suponha v(t) = Au(t)
onde u(t) é a função de passo Heaviside.
Então
 V(s) = { A \over s }
 I(s) = { A \over L (s^2 + 2\zeta s + \omega_o^2)  }
 Integral de convolução
Uma solução separada para cada função possível para V(t) é impossível. No entanto, existe um método para encontrar uma fórmula para I(t) utilizando a convolução. Para fazer isto, é necessário uma solução para uma entrada básica, a função delta de Dirac.
Para encontrar a solução mais facilmente começa-se resolvendo-a para a função de passo Heaviside e então utilizando o facto de que o nosso circuito é um sistema linear, a sua derivada será a solução para a função delta.
A equação então será, para t>0:

\left\{\begin{matrix} {{d^2 I_u} \over {dt^2}} +{R \over L} {{dI_u} \over {dt}} + {1 \over {LC}} I_u(t) = 0 \\ I(0^{+})=0 \qquad I'(0^{+})={1 \over L} \end{matrix}\right.
Assumindo que λ1 e λ2 são raízes de

P(\lambda)= \lambda^2+2 \zeta \lambda + \omega_o^2
então tal como na solução para ZIR, obtêm-se 3 casos diferentes:
Sobrecarga
Neste caso temos duas raízes reais negativas, a solução é:

I_u(t)={1 \over {L(\lambda_1-\lambda_2)}} \left[ e^{\lambda_1 t}-e^{\lambda_2 t} \right]

\Rightarrow I_{\delta}(t)={1 \over {L(\lambda_1-\lambda_2)}} \left[ \lambda_1 e^{\lambda_1 t}-\lambda_2 e^{\lambda_2 t} \right]
Carga crítica
Nesta caso, as raízes são idênticas (λ1 = λ2 = λ), a solução é:

I_u(t)={1 \over L} t e^{\lambda t}

\Rightarrow I_{\delta}(t)={1 \over L} (\lambda t+1) e^{\lambda t}
Subcarga
Neste caso existem duas raízes complexas conjugadas (\lambda_1 = \bar \lambda_2 = \zeta + i\omega_c), a solução é:

I_u(t)={1 \over {\omega_c L}} e^{\zeta t} \sin(\omega_c t)

\Rightarrow I_{\delta}(t)={1 \over {\omega_c L}} e^{\zeta t} \left[ \zeta \sin(\omega_c t) + \omega_c \cos(\omega_c t) \right]

Domínio da frequência

O circuito RLC série pode ser analisado no domínio da frequência utilizando as relações de impedância complexa. Se a fonte de tensão acima produz uma forma de onda exponencial complexa com a amplitude V(s) e frequência angular s = σ + iω, a Lei de Kirchoff para Tensão pode ser aplicada:
V(s) = I(s) \left ( R + Ls + \frac{1}{Cs} \right )
onde I(s) é a corrente complexa através de todos os componentes. Resolvendo para I tem-se:
I(s) = \frac{1}{ R + Ls + \frac{1}{Cs} } V(s)
E rearranjando, obtém-se
I(s) = \frac{s}{ L \left ( s^2 + {R \over L}s + \frac{1}{LC} \right ) } V(s)
 Admitância complexa
A seguir, a resolução para a admitância complexa Y(s):
 Y(s) = { I(s) \over V(s) } = \frac{s}{ L \left ( s^2 + {R \over L}s + \frac{1}{LC} \right ) }
Então, simplifica-se utilizando os parâmetros α e ωo
 Y(s) = { I(s) \over V(s) } = \frac{s}{ L \left ( s^2 + 2 \alpha s + \omega_o^2 \right ) }
Note que esta expressão para Y(s) é a mesma encontrada para a Resposta de Estado Zero.
Pólos e Zeros
Os zeros de Y(s) são os valores de s tais que Y(s) = 0:
s = 0 e  s = \infty
Os pólos de Y(s) são os valores de s tais que  Y(s) = \infty:
 s = - \zeta \pm \sqrt{\zeta^2 - \omega_o^2}
Note que os pólos de Y(s) são idênticos às raízes λ1 e λ2 do polinómio característico.
Estado sinusoidal constante
Supondo s = iω, obtendo a magnitude da equação acima obtém-se:
 | Y(s=i \omega) | = \frac{1}{\sqrt{ R^2 + \left ( \omega L - \frac{1}{\omega C} \right )^2 }}
A seguir, encontra-se a magnitude da corrente com uma função de ω
 | I( i \omega  ) |  =  | Y(i \omega) | \times | V(i \omega) |
Se os valores escolhidos fossem R = 1 ohm, C = 1 farad, L = 1 henry, e V = 1 volt, então o gráfico da magnitude da corrente I (em amperes) como uma função de ω (em radianos por segundo) seria:
Análise do estado sinusoidal constante
Note que existe um pico em Imag(ω) = 1. Este é conhecido como a frequência de ressonância. Resolvendo para este valor, encontra-se:
\omega_o = \frac{1}{\sqrt{L C}}

 Circuito RLC paralelo

Um modo de recuperar as propriedades do circuito RLC é através do uso da não-dimensionalização.
RLC Parallel circuitNotações do circuito RLC paralelo:
V - a tensão da fonte de alimentação (medida em volts V)
I - a corrente do no circuito (medida em ampères A)
R - a resistência do resistor (medida em ohms = V/A);
L - a indutância do indutor (medida em henrys = H = V·s/A)
C - a capacitância do capacitor (medida em farads = F = C/V = A·s/V)
Para uma configuração paralelo dos mesmos componentes, aonde Φ é o fluxo magnético no sistema, tem-se abaixo:
 C \frac{d^2 \Phi}{dt^2} + \frac{1}{R} \frac{d \Phi}{dt} + \frac{1}{L} \Phi = I_0 \cos(\omega t) \Rightarrow \frac{d^2 \chi}{d \tau^2} + 2 \zeta \frac{d \chi}{d\tau} + \chi = \cos(\Omega \tau)
com substituições obtém-se:
\Phi = \chi x_c, \ t = \tau t_c, \ x_c = L I_0, \ t_c = \sqrt{LC}, \ 2 \zeta = \frac{1}{R} \sqrt{\frac{L}{C}}, \ \Omega = \omega  t_c .
A primeira variável corresponde ao fluxo magnético máximo armazenado no circuito, e a segunda variável corresponde ao período das oscilações ressonantes no circuito.

Similaridades e diferenças entre os circuitos em série e em paralelo

As expressões para a largura de banda nas configurações em série e em paralelo são inversas. Isto é particularmente útil para determinar se uma configuração em série ou em paralelo deve ser utilizada no projecto de um circuito particular. Entretanto, na análise de circuito, geralmente, a recíproca das duas variáveis posteriores é utilizada para caracterizar o sistema. Elas são conhecidas como a frequência de ressonância e o factor Q, respectivamente.

Aplicações dos circuitos ajustados

Existem muitas aplicações para os circuitos ajustados, especialmente nos sistemas de rádio e comunicações. Eles podem ser utilizados para selecionar uma certa faixa de frequências de um espectro total de ondas de rádio.